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微积分知识梳理0——初等数学基础

本文总结了中学数学中的常用公式,这些在微积分中也会用到。这里的大部分结论都比较简单,在后面的微积分中也会用到。

初等代数

1.乘法公式和因式分解

1.完全平方公式

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$$

2.平方差公式

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$

3.完全立方公式

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

$$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$

4.n次方相减

$$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$$

证明:

右边把(a-b)展开后,a和右边相乘和b和右边相乘都可以消掉,只剩下\(a^n和b^n\)。

2.不等式

1.基本不等式

$$\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}$$

$$\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \le \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$$

2.绝对值不等式

$$|a|-|b| \le |a \pm b | \le |a| + |b|$$

3.二次方程

$$ax^2+bx+c=0$$

1.根的公式

$$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

2.韦达定理

$$x_1+x_2 = – \frac{b}{a} \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}$$

3.判别式

$$\Delta=b^2-4ac \begin{cases}>0 & 两个不相等的实根\\
=0 &两个相等的实根\\<0 &两个共轭虚根\end{cases}$$

4.三次方程根的关系

$$x^3+px^2+qx+r=0的三个根x_1,x_2,x_3,则$$

$$x_1+x_2+x_3=-p$$

$$x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = q$$

$$x_1 x_2 x_3 = -r$$

5.指数的运算

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

$$(a^{m})^n = a^{mn}$$

$$(ab)^n = a^n b^n$$

$$a^{-m} = \frac{1}{a^m}$$

$$a^{\frac{1}{m}} = \sqrt[m]{a}$$

6.对数运算

1. 对数和指数的关系

$$若y = x^n ,则 n = \log_{x}{y}$$

2.恒等式

$$a^{\log_{a}{N}}=N$$

$$\log_{a}{a^N} = N$$

2.加减公式

$$ \log_{a}{M} + \log_{a}{N} = \log_{a}{MN}$$

$$ \log_{a}{M} – \log_{a}{N} = \log_{a}{\frac{M}{N}}$$

3. 指数拿到对数外面

$$\log_{a^n}{b^m} = \frac{m}{n} \log_{a}{b}$$

4.换底公式

$$\log_{a}{b} = \frac{\log_{x}{b}}{\log_{x}{a}}$$

7.数列

1.等差数列

\(a_1\)为首项,\(a_n\)为通项,d为公差,\(S_n\)为前n项和

$$a_n=a_1+(n-1)d$$

$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2} = n a_1 + \frac{n(n-1)d}{2}$$

2.等比数列

\(a_1\)为首项,\(a_n\)为通项,q为公比,\(S_n\)为前n项和

$$a_n=a_1 q^{n-1}$$

$$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{a_1 – a_n q}{1-q}$$

3.常用数列的和

$$1+2+3+\cdots+n = \frac{1}{2}n(n+1)$$

$$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$

$$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 = [\frac{1}{2}n(n+1)]^2 = (1+2+3+\cdots+n)^2$$

8.排列组合

1.排列

$$P_n^m =n(n-1)(n-2) \cdots (n-(m-1)) =\frac{n!}{(n-m)!}$$

2.全排列

$$P_n^n = n!$$

3.组合

$$C_n^m = \frac{P_n^m}{m!} = \frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-(m-1))}{m(m-1)\cdots 3 \cdot 2}$$

$$C_n^m = C_n^{n-m}$$

$$C_n^m = C_{n-1}^m + C_{n-1}^{m-1}$$

4.二项式定理

$$(a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} C_n^r a^r b^{n-r} = \sum_{r=0}^{n} C_n^r a^{n-r} b^{r}$$

三角函数公式

1.三角函数的单位圆定义

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$$\sin \theta = y \qquad \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$$
$$\cos \theta = x \qquad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$$
$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \qquad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$$

2.三角恒等式

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \beta = 1$$

$$\sec^2 \theta -1 = \tan^2 \theta$$

$$1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta$$

3.诱导公式

周期性的 \(2n \pi \)和\(n \pi \)可以通过周期性推出,在此省略。

$$\sin(\frac{\pi}{2} – x) = \cos x$$

$$\cos(\frac{\pi}{2} – x) = \sin x$$

$$\sin(-x) = -\sin x$$

$$\cos(-x) = \cos x$$

4.两角和差公式

$$\sin (\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $$
$$\sin (\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta $$
$$\cos (\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta $$
$$\cos (\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $$

$$\tan (\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}$$
$$\tan (\alpha-\beta) = \frac{\tan \alpha – \tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}$$

5.倍角公式 (升幂)

$$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$
$$\cos 2x = \cos^2x-\sin^2x = 2\cos^2x – 1 = 1-2\sin^2x$$

$$\tan 2x = \frac{2\tan x}{1-\tan^2x}$$

6.半角公式(降幂)

$$\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$$

$$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$$

$$\tan^2 x = \frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}$$

$$\tan x = \frac{1-\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1+\cos x}$$

7.和差化积

$$\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$$
$$\sin x – \sin y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$$
$$\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$$
$$\cos x – \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$$

8.积化和差

$$\sin x \cos y = \frac{1}{2} [\sin(x+y) + \sin(x-y)]$$
$$\cos x \cos y = \frac{1}{2} [\cos(x+y) + \cos(x-y)]$$
$$\sin x \sin y = \frac{1}{2} [\cos(x-y) – \cos(x+y)]$$

 

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