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微积分知识梳理1——极限

最近在复习微积分,于是在这里把相关的知识点整理一下。因为博主并不是数学专业,所以本文更倾向于直观的理解而不是精确的数学推导。虽然如此,但本文尽量从最基本的定义和已知的定理出发,推导出其他定理

极限的概念是整个微积分的基础,理解极限的概念十分重要。

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函数极限的定义

在微积分发展的早期,极限的定义是描述性的。

假设函数 y=f(x) 在一点x0附近有定义,当x不断的接近x0的时候,如果函数值f(x)也不断接近一个常数A,那么我们说x趋于x0时,f(x)趋于A。

A是由 x不断接近x0时的f(x)得到的,但是x不等于x0 ,也就是说,极限A和函数在x0这一点的值没有关系。(有关系的是x0附近的函数值。)

例如,下面两个函数

$$f(x)=x+1$$

$$g(x) =
\begin{cases}
x+1 &  (x \neq 0) \\
1   &(x=0) \\
\end{cases}$$

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他们在x趋向1时的极限都是2 。虽然g(2) = 1 但是这和在2处的极限无关。

描述性的定义非常直观,我们理解起来也非常容易。但是当函数越来越复杂时,大家意识到不能依赖于直观,必须要有精确的定义,这样才能支撑更复杂函数的研究。

函数极限的准确定义是这样的,使用了所谓的  \(\epsilon-\delta\)  语言:

定义1.1.1 函数极限的定义:

设f(x)定义于点a的某个空心邻域,A是一个确定的常数。

如果 \(\forall \epsilon>0, \exists \delta >0\),使得\(\forall x: 0<|x-a|<\delta\),都有 \(|f(x)-A|<\epsilon\),则称\(x \to a\)时f(x)以A为极限,记作

$$\lim_{x \to a} f(x)=A$$

当x在a的某个邻域(\(\exists \delta >0\)),\(\forall x: 0<|x-a|<\delta\)时,f(x) 的函数值是小于\(\epsilon\) 的,因为\(\epsilon\) 是任意的,可以足够小。这也就是说,f(x) 在a的某个邻域内与A的差可以任意小。要注意\(\delta\)我们关注的是存在性,对于任意的\(\epsilon\),只要我们找到1个\(\delta\)就可以了。一般来说\(\delta\)的取值会和\(\epsilon\)有关。

例1 用极限的定义证明 \(\lim_{x \to 2} (3x+9) = 15\)。

对比极限的定义,要证明的f(x) = 3x + 9 ,x趋向于2时,f(x)趋向于15,这里2就是定义中的a,15就是定义中的A。

我们要证明\(\lim_{x \to 2} (3x+9) = 15\),按照定义,只需要找到一个数\(\delta\),当\(0<|x-2|<\delta\)时,有

$$|f(x)-15|<\epsilon$$

把f(x)用3x+9带进去,可以得到x关于\(\epsilon\)的不等式。

$$|(3x+9)-15| = |3x-6| = 3|x-2| < \epsilon$$

$$|x-2|<\frac{\epsilon}{3}$$

上面的推导不但可以从上到下推,从下倒上也是能推导回去的。我们发现\(|x-2|<\frac{\epsilon}{3}\)和\(0<|x-a|<\delta\)非常相似,\(\delta\)不就可以取作这里的\(\frac{\epsilon}{3}\)吗,这样,\(\forall x: 0<|x-2|<\delta\),都有 \(|f(x)-15|<\epsilon\),所以$$\lim_{x \to 2} (3x+9) = 15$$这就证明完毕了。

例2 用极限的定义证明 \(\lim_{x \to 0}cosx=1\)。

要证明\(\lim_{x \to 0}cosx = 1\),按照定义,只需要找到一个数\(\delta\),当\(0<|x-0|<\delta\)时,有

$$|cosx-1|<\epsilon$$

$$|cosx-1|=1-cosx=2sin^2\frac{x}{2}<2(\frac{x}{2})^2=\frac{x^2}{2}<\epsilon$$

只需要 \(|x| < \sqrt{2\epsilon}\) ,因此我们取 \(\delta = \sqrt{2\epsilon}\),这样\(0<|x-0|<\delta\)时,有

$$|cosx-1|<\epsilon$$

证毕。

函数极限的定义中,\(\forall x: 0<|x-a|<\delta\),x是在a的两侧的。有时候从a的左边和右边接近a,极限是不一样的。因此有了单侧极限的概念:

定义1.1.2 左、右极限

设f(x)定义于点a的某个右邻域\(O^+(a)\),A是一个确定的常数。

如果 \(\forall \epsilon>0, \exists \delta >0\),使得\(\forall x: 0<x-a<\delta\),都有 \(|f(x)-A|<\epsilon\),则称A为f(x)当\(x \to a\)时的右极限,记作

$$\lim_{x \to a^+} f(x)=A  还可以记作f(a^+)$$

类似的可以定义左极限:$$\lim_{x \to a^-} f(x)=A 还可以记作 f(a^-)$$

显然,根据极限和左右极限的定义,极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。

考察函数\(f(x)=\frac{x}{|x|}\)

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在x趋于0时,左极限为-1,右极限为1 。 极限不存在。

定义1.1.3 自变量趋于无穷时函数的极限

设函数f(x)对于|x|充分大的一切x有定义,A为常数。

如果 \(\forall \epsilon>0, \exists X >0\),使得\(\forall x: |x|>X\),都有 \(|f(x)-A|<\epsilon\),则称\(x \to \infty\)时f(x)的极限是A,记作

$$\lim_{x \to \infty} f(x)=A$$

和左右极限类似,也有趋向负无穷和正无穷的概念。

这个定义的几何意义:任意给一个\(\epsilon\),总能找到一个X,当|x|大于X时,函数的图像被夹在\(A-\epsilon和A+\epsilon\)之间。

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定义1.1.4 函数值趋于无穷时的极限

设f(x)定义于点a的某个空心邻域

如果 \(\forall G>0, \exists \delta >0\),使得\(\forall x: 0<|x-a|<\delta\),都有 \(|f(x)|>G\),则称\(x \to a\)时f(x)的极限是无穷大,记作

$$\lim_{x \to a} f(x)=\infty$$

例如,函数f(x)=1/x

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在x趋于0时,函数值趋于无穷。

类似的,无穷大分为两种:负无穷大和正无穷大。

注意:若函数值趋于无穷,根据极限的定义,属于极限不存在的情况。

极限的性质

极限反应的是函数值在一个点附近的性质,而不是这个点上面的性质。通过下面5个极限的性质可以体会到这一点。

定理1.1.1 唯一性

若极限\(lim_{x \to a}f(x)\)存在,则极限值唯一。

证明:

这个应该是很显然的。假设有两个不同的极限A、B 。我们取A和B之间的一个点C 。当x趋向于a的时候,f(x)既从C接近A,又从C接近B,这显然是错误的。严格的证明如下:

假设当\(x \to a\)时,f(x)趋向于两个不同的极限A和B,不妨设A<B

取\(\epsilon=frac{B-A}{2}>0\),则根据极限的定义,有

$$\exists \delta_1 >0,使得0<|x-a|<\delta_1时,有 |f(x)-A|<\epsilon 即 f(x)<A+\epsilon=\frac{A+B}{2}$$

$$\exists \delta_2 >0,使得0<|x-a|<\delta_2时,有 |g(x)-B|<\epsilon 即 f(x)>B-\epsilon=\frac{A+B}{2}$$

这样,当\(0<|x-a|<\delta\)时,有

$$f(x)<frac{A+B}{2}<f(x)$$

产生了矛盾,因此假设是错误的,证毕。

定理1.1.2 局部有界性

若极限\(\lim_{x \to a}f(x)\)存在,则 f(x) 在a的某个去心邻域\(O_0(a,\delta)\)上有界。

证明:

假设极限是A,根据极限的定义,我们只要取\(\epsilon=1\),就可以得到在某个邻域内

$$|f(x)-A|<1 \Rightarrow |f(x) < 1 + |A|$$

定理1.1.3 局部保号性

若极限\(\lim_{x \to a}f(x)=A>0\),则存在a的某个去心邻域\(O_0(a,\delta)\),使得\(\forall x \in O_0(a,\delta)\),有

$$f(x)>r>0$$ 。

这个定理可以理解为:极限为正,则去心邻域函数值为正;极限为负,则去心邻域函数值为负。

假设x趋向于a时f(x)趋向于A ,A>0的时候,f(x)趋于A的时候肯定会无限接近A,也就大于r大于0了。

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但是,当极限是0的时候,我们得不出邻域内函数值的正负。这在图中也是很明显的,假设A=0,那么f(x)在A的两侧,符号无法判断。因此,这个定理中的不等号是严格的,不能使用小于等于0.

证明:

设A>0,根据极限的定义,

$$\exists \delta >0,使得0<|x-a|<\delta时,有 |f(x)-A|<\epsilon $$

我们取\(\epsilon=A-r\),则

$$ |f(x)-A|<\epsilon = A-r$$

$$r<f(x)<2A-r$$

证毕。

定理1.1.4 极限不等式

设极限\(\lim_{x \to a}f(x)\)与\(\lim_{x \to a}g(x)\)都存在,且在a的某去心邻域内有\(f(x) \le g(x)\),则

$$\lim_{x \to a}f(x) \le \lim_{x \to a}g(x)$$

证明思路:

$$A-\epsilon<f(x)<A+\epsilon$$

$$B-\epsilon<g(x)<B+\epsilon$$

$$A-\epsilon<f(x) \le g(x)<B+\epsilon$$

$$A<B+2\epsilon$$

证毕。

定理1.1.5 夹逼定理

设\(\lim_{x \to a}f(x) = \lim_{x \to a}g(x) = A\),且存在a的某个去心邻域\(O_0(a,\delta)\),使得\(\forall x \in O_0(a,\delta)\),有

$$f(x) \le h(x) \le g(x)$$

$$\lim_{x \to a}h(x) = A$$

证明:

根据极限的定义,

$$\exists \delta_1 >0,使得0<|x-a|<\delta_1时,有A-\epsilon < f(x)$$

$$\exists \delta_2 >0,使得0<|x-a|<\delta_2时,有 g(x)<A+\epsilon$$

取\(\delta = min(\delta_1, \delta_2)\),那么\(0<|x-a|<\delta\)时,上面两个不等式都满足。有

$$A-\epsilon < f(x) \le h(x) le g(x) < A + \epsilon$$

$$A-\epsilon <h(x) < A + \epsilon$$

$$-\epsilon <h(x)-A < \epsilon$$

$$|h(x)-A|<\epsilon$$

这表明 \(\lim_{x \to a}h(x)=A\)

极限的运算法则

极限的四则运算法则直观上很容易理解,不过为了严谨,我们还是给出证明。

定理1.2 极限的四则运算法则

设f和g是两个函数,并设函数极限\(\lim_{x \to a}f(x)\)与\(\lim_{x \to a}g(x)\)都存在,则

$$\lim_{x \to a}[f(x) \pm g(x)]=\lim_{x \to a}f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x)$$

$$\lim_{x \to a}f(x)g(x) = \lim_{x \to a}f(x) \cdot \lim_{x \to a}g(x)$$

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)} \qquad (设\lim_{x \to a}g(x) \neq 0)$$

证明:

先看看已知条件:不妨设\(\lim_{x \to a}f(x)=A\), \(\lim_{x \to a}g(x)=B\),根据极限的定义,任意取一个\(\epsilon\),有

$$\exists \delta_1 >0,使得0<|x-a|<\delta_1时,有 |f(x)-A|<\epsilon$$

$$\exists \delta_2 >0,使得0<|x-a|<\delta_2时,有 |g(x)-B|<\epsilon$$

我们取\(\delta = min(\delta_1, \delta_2)\),那么\(0<|x-a|<\delta\)时,上面两个不等式都满足。

下面先证明加法。

$$\lim_{x \to a}[f(x) \pm g(x)]=\lim_{x \to a}f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x) = A + B$$

按照定义,左边f(x)+g(x)看做一个函数,我们要证明f(x)+g(x)在a处极限为A+B,也就是

$$|f(x)+g(x)-(A+B)| < \epsilon$$

我们再看看已知条件中的两个不等式,它们是关于f(x)-A和g(x)-B的,要证的式子\(|f(x)+g(x)-(A+B)| < \epsilon\)很容易写成这种形式

$$|f(x)+g(x)-(A+B)| = |f(x)-A + g(x)-B|$$

然后我们把两个不等式代入,得到

$$|f(x)+g(x)-(A+B)| = |f(x)-A + g(x)-B| \le |f(x)-A| + |g(x)-B| < \epsilon + \epsilon = 2\epsilon$$

$$|f(x)+g(x)-(A+B)| <  2\epsilon$$

由于\(\epsilon\)可以任意小,显然2倍的\(\epsilon\)也可以任意小。证明完毕。

下面证明乘法

$$\lim_{x \to a}f(x)g(x) = \lim_{x \to a}f(x) \cdot \lim_{x \to a}g(x)$$

就是要证明f(x)g(x)在x趋向于a时极限是AB,也就是

$$|f(x)g(x)-AB|<\epsilon$$

根据已知的两个不等式,我们的思路是把上式的形式向不等式凑。

$$|f(x)g(x)-AB| = |f(x)g(x) – Bf(x) + Bf(x) – AB| = |f(x)||g(x)-B|+|B||f(x)-A|$$

我们观察4个绝对值,|g(x)-B| 和 |f(x)-A|都可以任意小,|B|是一个有限的常数,而根据定理1.1.2 极限的局部有界性, |f(x)|也是有限的,不妨设上界为M,因此整个表达式都是可以任意小的。

$$|f(x)g(x)-AB|< M\epsilon + |B| \epsilon$$

最后证明除法

只需要证明 \(\lim_{x \to a}\frac{1}{g(x)} = \frac{1}{B}\),也就是要证

\(|\frac{1}{g(x)} – \frac{1}{B}|\)可以任意小。

$$|\frac{1}{g(x)} – \frac{1}{B}| = |\frac{|B-g(x)|}{g(x)B}|$$

根据定理1.1.3 极限的局部保号性,可以取一个邻域让g(x)>B/2 ,而|B-g(x)|<\(\epsilon\)。可以放缩:

$$|\frac{1}{g(x)} – \frac{1}{B}| = |\frac{|B-g(x)|}{g(x)B}| < \frac{\epsilon}{\frac{1}{2}B^2}$$

定理1.3 极限的复合运算法则

设\(\lim_{x \to x_0}g(x)=u_0\),\(\lim_{u \to u_0}f(u)=A\),并且当\(x \neq x_0 时,g(x) \neq u_0\),则

$$\lim_{x \to x_0}f(g(x)) = A$$

这个定理从直观上比较好理解,内层函数值趋近于u0,而f(u)当u趋近于u0的时候趋近于A,结果当然趋近于A。

极限的复合运算法则是十分重要的,它是微积分中经常用到的变量代换的理论基础。

\(x \neq x_0 时,g(x) \neq u_0\)这个条件,是为了在极限过程中不会涉及到u0这一个点的函数值。因为条件中只告诉了极限,没有告诉这一点的函数值。

证明:

我们要证的结论是\(\lim_{x \to x_0}f(g(x)) = A\),也就是证明

能不能找到一个\(\delta>0\),当\(0<|x-a|<\delta\)时,有

$$|f(g(x))-A| < \epsilon$$

然后看已知条件,根据外层已知的极限

$$\exists \delta_1 >0,当0<|u-u_0|<\delta_1时,有 |f(u)-A|<\epsilon$$

我们只需要让\(0<|g(x)-u_0|<\delta_1\)就可以了。根据内层的极限,我们取这时候的\(\epsilon= \delta_1\),就有

$$\exists \delta >0,当0<|x-x_0|< \delta时,有 |g(x)-u_0|<\delta_1$$

在递推回去,就有

$$|f(g(x))-A| < \epsilon$$

两个重要极限

定理1.4.1

$$\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1$$

证明:

先看一下维基百科上的单位圆

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很容易可以得出0<x<π/2时 \(sinx < x < tanx\)

$$同时除以sinx得 \qquad 1\le\frac{x}{sinx}\le\frac{1}{cosx}$$

$$取倒数 得\qquad cosx \le \frac{sinx}{x} \le 1$$

根据例2 我们使用定义1 极限的定义证明了 \(\lim_{x \to 0}cosx = 1\)

因此 根据 定理1.1.5 夹逼定理 就得到了

$$\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1$$

定理1.4.2

$$\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x = e$$

证明:

其实这也是自然对数e的一个定义。

先来证明n为自然数时,\(\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n \)是存在的。

设数列\(x_n=(1+\frac{1}{n})^n (x=1,2,\cdots)\)

根据单调有界收敛,只需要证明两个条件

条件一:单调。使用比较\(x_n和x_{n+1}\)的方法:

使用二项式定理展开。然后把分母中的n的n次方分到各个分子,相当于每个分子除以n

$$x_n=(1+\frac{1}{n})^n$$

$$=1+1+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\frac{1}{n^3}+\cdots+\frac{n(n-1)\cdots(n-(n-1))}{n!}\frac{1}{n^n}$$

$$=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})+\cdots+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})\cdots(1-\frac{n-1}{n})$$

再看\(x_{n+1}\),使用同样的方法展开

$$x_{n+1}=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n+1})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})+\cdots$$

$$+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n+1})\cdots(1-\frac{n-1}{n+1})+\frac{1}{(n+1)!}(1-\frac{1}{n+1})\cdots(1-\frac{n}{n+1})$$

比较,\(x_{n+1}\)的前n+1项都要比\(x_n\)大或者相等,此外还多了一项。所以有\(x_n \le x_{n+1}\),即单调增加。

条件二:有界

把展开式中1减一个分数的全部放大到1,这样有

$$x_n \le 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}$$

把分母的阶乘放大到前两项。

$$x_n \le 1+1+\frac{1}{2*1}+\frac{1}{3*2}+\cdots+\frac{1}{n*(n-1)}$$

$$=1+1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots-\frac{1}{n} \le 1+1+1-\frac{1}{n} < 3$$

因此可见数列有界。根据 定理1.0.2 单调有界收敛定理 可知,数列的极限存在,记该极限的值为e ,即

$$e = \lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n$$

下面证明x是实数时的一般情况:

先证明\(x \to +\infty\)

设\(n \le x < n+1\),n为自然数。则有

$$(1+\frac{1}{n+1})<(1+\frac{1}{x})\le(1+\frac{1}{n})$$

$$(1+\frac{1}{n+1})^n<(1+\frac{1}{x})^x\le(1+\frac{1}{n})^{n+1}$$

由于

$$\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n+1})^n=\lim_{n \to \infty}\frac{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}}{1+\frac{1}{n+1}} = e $$

$$\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^{n+1}=\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n(1+\frac{1}{n})=e$$

根据 定理1.1.5 夹逼定理 可知

$$\lim_{x \to +\infty}(1+\frac{1}{x})^x = e$$

再考虑\(x \to -\infty\)

做一个简单的代换,根据 定理1.3 极限的复合运算法则 令t=-x,则\(t \to +\infty\)

$$\lim_{x \to -\infty}(1+\frac{1}{x})^x =\lim_{t \to +\infty}(1-\frac{1}{t})^{-t}=\lim_{t \to +\infty}(\frac{t-1}{t})^{-t}=\lim_{t \to +\infty}(\frac{t}{t-1})^{t}$$

$$=\lim_{t \to +\infty}(\frac{t-1+1}{t-1})^{t}=\lim_{t \to +\infty}(1+\frac{1}{t-1})^t=\lim_{t \to +\infty}(1+\frac{1}{t-1})^{t-1}(1+\frac{1}{t-1})=e$$

根据 定义1.1.2  左右极限和极限的关系

$$\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x = e$$

证毕。

根据 定理1.3 极限的复合运算法则 这个重要极限还有一种常用形式:

$$\lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = e$$

常用极限公式

根据两个重要极限,可以推导出许多常用的极限。

根据 定理1.3 极限的复合运算法则 ,两个重要极限中的自变量x,可以是其他表达式,只要表达式趋于0就可以了。

常用极限1

$$\lim_{x \to 0}\frac{tanx}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{sin}{x}\frac{1}{cosx}=1$$

$$\lim_{x \to 0}\frac{arctanx}{x} = 1$$

$$\lim_{x \to 0}\frac{arctsinx}{x} = 1$$

证明:

令\(t = arcsinx,则x = sint\)

$$\lim_{x \to 0}\frac{arctsinx}{x} = \lim_{t \to 0}\frac{t}{sint} = 1$$

类似的。令\(t = arctanx,则x = tant\)

$$\lim_{x \to 0}\frac{arcttanx}{x} = \lim_{t \to 0}\frac{t}{tant} = 1$$

常用极限2

$$\lim_{x \to 0}\frac{1-cosx}{x} = \frac{1}{2}$$

证明:

$$\lim_{x \to 0}\frac{1-cosx}{x^2} = \frac{2sin^2(\frac{x}{2}^2)}{x^2}=\frac{2sin^2(\frac{x}{2}^2)}{(\frac{x}{2})^2 * 4}=(\frac{sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}})^2*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

常用极限3

$$\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1$$

证明:

$$\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\ln(1+x) = \lim_{x \to 0}\ln(1+x)^{\frac{1}{x} }= ln e = 1$$

常用极限4

$$\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$$

$$\lim_{x \to 0}\frac{a^x-1}{x}=ln a$$

证明:

令\(t=e^x-1,则 x = ln(t +1)\)

$$\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{t \to 0}\frac{t}{ln(t+1)} = 1$$

$$\lim_{x \to 0}\frac{a^x-1}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{e^{x ln a}-1}{x ln a}ln a = ln a$$

常用极限5

$$\lim_{x \to 0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=a$$

证明:

$$\lim_{x \to 0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{e^{a ln(1+x)}-1}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{e^{a ln(1+x)}-1}{aln(1+x)} a \frac{ln(1+x)}{x} = a$$

 

例3:\(\lim_{x \to 0}\frac{tanx-sinx}{x^3}\)

$$\lim_{x \to 0}\frac{tanx-sinx}{x^3} = \lim_{x \to 0}\frac{tanx(1-cosx)}{x^3} =\lim_{x \to 0}\frac{tanx}{x}\frac{(1-cosx)}{x^2} =1*\frac{1}{2} =\frac{1}{2} $$

例4:\(lim_{x \to \infty}(\frac{x+5}{x+2})^{x+3}\)

$$lim_{x \to \infty}(\frac{x+5}{x+2})^{x+3} = lim_{x \to \infty}(1+\frac{3}{x+2})^{x+3}$$

$$lim_{x \to \infty}(1+\frac{3}{x+2})^{\frac{x+2}{3}(x+3)\frac{3}{x+2}}=e^{\lim_{x \to \infty}(x+3)\frac{3}{x+2}}=e^3$$

 

无穷小

定义1.3.1 无穷小

如果函数f(x)在\(x \to a\)时的极限为0,则称函数f(x)是\(x \to a\)时的无穷小。使用 ϵ−δ 语言来描述就是

如果 \(\forall \epsilon>0, \exists \delta >0\),使得\(\forall x: 0<|x-a|<\delta\),都有 \(|f(x)|<\epsilon\),则称f(x)是\(x \to a\)时的无穷小量,简称无穷小。

类似的,可以定义x趋向正负无穷,趋向于a+,a-等时候的无穷小。

从定义可以看出,无穷小是一个函数在自变量的极限过程中定义的,是极限值为0的变量。

定理1.5.1 极限和无穷小的关系

\(x \to a\)时f(x)极限是A的 充要条件 是 \(\alpha(x)=f(x)-A\)在\(x \to a\)时是无穷小。即

$$\lim_{x \to a}f(x) = A \Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x) ,\alpha(x)是x \to a时的无穷小$$

证明:

必要性:

\(x \to a\)时f(x)极限是A,则有

$$|f(x)-A|<\epsilon$$

\(\alpha(x)=f(x)-A\)显然是无穷小。

充分性:

\(\alpha(x)=f(x)-A\)在\(x \to a\)时是无穷小,则

$$|f(x)-A|<\epsilon$$

这说明f(x)极限是A。

证毕。

定义1.3.2 无穷小的比较

设\(x \to x_0\)时,f(x)和g(x)均为无穷小,\(g(x)\neq 0\)

1. 若\(\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0\),则称\(x \to x_0\)时,f(x)为比g(x)高阶的无穷小,g(x)为f(x)的低阶无穷小。记作\(f(x) = o(g(x)), (x \to x_0)\)

2. 若\(\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=c \neq 0\),则称\(x \to x_0\)时,f(x)和g(x)是同阶无穷小。记作\(f(x) \sim c g(x), (x \to x_0)\)

特别的,c=1时,称f(x)和g(x)是等价无穷小。记作\(f(x) \sim g(x), (x \to x_0)\)

并不是任意两个无穷小都能比较。例如xsin(1/x)和x就不能比较。

若\(x \to x_0\)时,f(x)和\((x-x_0)^k\)是同阶无穷小,则称f(x)是k阶无穷小。\(c (x-x_0)^k\)成为f(x)的主部。

定理 1.5.2  无穷小的运算

无穷小 + 无穷小 = 无穷小

无穷小 – 无穷小 = 无穷小

常数 * 无穷小 = 无穷小

无穷小 * 无穷小 = 无穷小

这里的=反应的是性质,而不是严格的数值关系相等。

定理1.5.3 有界量与无穷小的乘积是无穷小

证明:

设\(x \to a时,f(x) = o(1) ,|g(x)| \le M\)

$$0 \le |f(x)g(x)| \le M|f(x)$$

根据 定理1.1.5 夹逼定理

\(|f(x)g(x)| \to 0\)

定理 1.5.4 等价无穷小代换

设在同一个极限过程中,变量\(\alpha\)和\(\alpha’\),\(\beta\)和\(\beta’\)都是无穷小,且\(\alpha \sim \alpha’\),\(\beta \sim \beta’\).若极限\(\lim\frac{\beta’}{\alpha’}\)存在,则

$$\lim\frac{\beta}{\alpha} = \lim\frac{\beta’}{\alpha’}$$

证明:

$$\lim\frac{\beta}{\alpha} = \lim\frac{\beta}{\beta’}\frac{\beta’}{\alpha’}\frac{\alpha’}{\alpha}=\lim\frac{\beta}{\beta’} \lim\frac{\beta’}{\alpha’} \lim\frac{\alpha’}{\alpha}= \lim\frac{\beta’}{\alpha’}$$

常用的等价无穷小

根据两个重要极限常用极限,可以得到常用的无穷小。极限过程都是\(x \to 0\)

1. \(x \sim sinx \sim tanx \sim arcsinx \sim arctanx \sim e^x-1 \sim ln(1+x)\)

2. \(1-cosx \sim \frac{1}{2}x^2\)

3. \((1+x)^a-1 \sim ax\)

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