线性代数知识梳理3——向量

yalewoo 最后修改于 2019-05-12 发表于 2015-10-27 2,907 views 1

线性代数线性代数, 数学

向量和向量空间理论是重要的数学工具。中学接触的向量是二维和三维的，在线性代数中我们把它扩充到n维。

向量的定义

定义：由数a1, a2, … , an组成的有序数组成为n维向量，简称向量。

向量通常用希腊字母$ \alpha , \beta, \gamma $表示。

$$ \alpha = (a_1, a_2, …, a_n) 或 \alpha = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \\ \end{pmatrix} $$

分别称为行向量和列向量。虽然行向量和列向量本质上都是有序的数字，但在线性代数中有一点不同。行向量可以看做1*n维矩阵，列向量可以看做n*1的矩阵，在与矩阵运算时会不同。

矩阵和向量

矩阵A有m行n列，则A的每行为一个n维行向量，A的列是m维列向量。单位矩阵的n个列向量又称为n维基本向量。

向量的模

定义：若$ \alpha = (a_1, a_2, …, a_n) $，则数值 $ \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2}$ 称为向量的模（又叫长度、范数），记作 $|| \alpha ||$

$ || \alpha || = 1$的向量称为单位向量。

向量的线性运算

设 $ \alpha = (a_1, a_2, …, a_n) , \beta = (b_1, b_2, …, b_n)$ ，k是实数，则向量加法和数乘定义为

$$ \alpha + \beta = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, …, a_n + b_n)$$

$$ k \alpha = (ka_1, ka_2, …, ka_n)$$

向量的加法和数乘统称为向量的线性运算。如果把向量看做1*n的矩阵，这种定义和矩阵中的加法和数乘一致，也满足矩阵中的相应运算律。

向量的运算律

1. 加法交换律

$$ \alpha + \beta = \beta + \alpha$$

2. 加法结合律

$$(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$$

3. 加法单位元为零向量 0

$$ \alpha + 0 = 0 + \alpha = \alpha$$

4. 加法的可逆性

$$ \alpha + (-\alpha) = 0$$

5. 数乘对加法的分配律

$$k(\alpha + \beta) = k\alpha + k \beta$$

$$(m+n)\alpha = m\alpha + n\alpha$$

6. 数乘的结合律

$$(kl\alpha) = k(l \alpha)$$

7. 数乘运算的单位元是1

$$1 \alpha = \alpha$$

向量组的线性相关性

向量的线性组合

设$ \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m $是$R^n$中的向量，k1， k2，…，km是R中的数，则形如下面式子的和

$$ k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + … + k_m \alpha_m$$

称为向量$ \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m $的线性组合。

若

$$ \beta = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + … + k_m \alpha_m$$

则称$\beta$是向量$ \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m $的线性组合，或称 $\beta$可由$ \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m $线性表示。

向量组的等价

设有两个n维向量组

$$1. \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r$$

$$2. \beta_1, \beta_2, …, \beta_s$$

若向量组1中每个向量都可以用向量组2线性表示，则称向量组1可由向量组2线性表示；

若向量组2中每个向量都可以用向量组1线性表示，则称向量组2可由向量组1线性表示；

如果向量组1和向量组2可以互相线性表示，则两个向量组等价。

向量组的等价也具有三个性质：自反性、对称性、传递性。

向量组的线性相关

定义：设向量组$ \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m $ ，若存在一组不全为0的数 k1, k2, …, km，使

$$k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + … + k_m \alpha_m = 0$$

则称向量组$ \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m $线性相关。否则，称向量组$ \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m $线性无关。

向量组只有一个向量时，如果是0向量，则k0 = 0 有非零解，说明0向量线性相关。包含0向量的向量组也是线性相关的。

如果单个的非零向量 ka = 0 则只有0解，单个的非零向量线性无关。

两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。

线性相关的判定定理

向量组的极大线性无关组和秩

极大无关组

定义：若向量组T的部分向量组 $ \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r $ 线性无关，且T中任意向量均可由 $ \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r $线性表示，则称 $ \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r $ 是向量组T的极大线性无关组，简称极大无关组。

无关指的是极大线性无关组中的向量线性无关。

极大指的是再添加任意一个其余的向量，就不是线性无关组了。

显然，向量组和它的极大无关组等价。本身就是线性无关的向量组的极大无关组就是它本身。

一个向量组的极大无关组不一定唯一，但是等价的。

定理1：若向量组 $ \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r $ 线性无关，且可由向量组 $ \beta_1, \beta_2, …, \beta_s $ 线性表示，则 $r \le s$。

推论1（逆否命题）：若向量组 $ \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r $可由向量组 $ \beta_1, \beta_2, …, \beta_s $ 线性表示，且 r>s，则向量组 $ \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r $ 线性相关。

推论2：任意两个线性无关的等价向量组所含向量个数相等。

定理2：一个向量组的任意两个极大无关组所含向量个数相等。

向量组的秩

定义：向量组 $ \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m $ 的极大线性无关组所含的向量个数成为向量组的秩，记作 r($ \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m $ ) 。

根据定义可以得到：向量组线性无关等价于秩等于向量个数。

定理3：若向量组 $ \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r $可由向量组 $ \beta_1, \beta_2, …, \beta_s $ 线性表示，则 $ r(\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r) \le r(\beta_1, \beta_2, …, \beta_s) $ .

上面说到，向量组的等价即两个向量组可以互相表示，则它们有相同的秩。显然，有相同的秩的向量组不一定等价。

求向量组的秩

矩阵行向量组的秩叫做矩阵的行秩，矩阵列向量组的秩叫做矩阵的列秩。

定理4：矩阵的行秩和列秩相等，叫矩阵的秩。向量组的秩和该向量组构成的矩阵的秩相等。

求向量组的极大无关组

采用列摆行变换法。把向量组按列摆成矩阵，对矩阵作初等变换。化为梯形阵后，在每个高度上取一个向量就得到了极大无关组。

使用向量可以证明矩阵中的关于秩的不等式。

向量空间

运算的封闭性的定义：设V是n维向量的非空集合，如果对V中的向量进行加法和数乘运算后的向量仍属于V，则称V对于向量加法及数乘两种运算封闭。

向量空间的定义：设V是n维向量的非空集合，如果V对于向量加法及数乘两种运算封闭，则称集合V为n
维向量空间,简称为向量空间。

向量空间的基和维数

定义：若n维向量空间V中的向量组 $ \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r $ 线性无关，且V中任意向量均可由 $ \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r $线性表示，则称 $ \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r $ 是V的一个基。基中所含的向量个数成为向量空间的维数。

这个定义和向量组的极大无关组和秩的概念类似。

向量在基下的坐标

定义：设$ \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r $ 是V的一个基，$\beta \in V$ ，且

$$\beta = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + … + k_r \alpha_r$$

则称系数k1, k2, … , kr是 $ \alpha $在基$ \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r $下的坐标。

向量在确定的基下的坐标是唯一的。在不同的基下有不同的坐标。

向量组的正交性

向量内积

定义：设有向量 $ \alpha = (a_1, a_2, …, a_n) , \beta = (b_1, b_2, …, b_n)$

则它们的内积定义为

$$(\alpha, \beta) = a_1b_1 + a_2b_2 + … + a_nb_n$$

内积的性质：

1. $ (\alpha, \beta) = \alpha \beta^T $

2. $ (\alpha, \beta) = (\beta, \alpha) $

3. $ (k\alpha, \beta) = (\beta, k\alpha) = k(\beta, k\alpha)$

4. $ (\alpha + \beta, \gamma) = (\alpha, \gamma) + (\beta, \gamma) $

5. $ (\alpha, \alpha) = ||\alpha||^2 $

向量单位化

单位向量模为1，向量数乘它的模的倒数就成了单位向量。

向量的正交性

定义1：若 $ (\alpha, \beta) = 0$ ，则称向量$\alpha$ 与 $\beta$正交。

定义2：m个n维非零向量两两正交，则成为正交向量组。简称正交组。

定理：正交向量组线性无关。

向量组的正交规范化

设 $ \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m $为线性无关的向量组，令

$$ \beta_1 = \alpha_1$$

$$\beta_2 = \alpha_2 – \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1$$

$$\beta_3 = \alpha_3 – \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 – \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)} \beta_2$$

…………

$$\beta_m = \alpha_m – \frac{(\alpha_m, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 – \frac{(\alpha_m, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)} \beta_2 – … – \frac{(\alpha_m, \beta_{m-1})}{(\beta_{m-1}, \beta_{m-1})} \beta_{m-1}$$

则

1. $ \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m $ 与 $ \beta_1, \beta_2, …, \beta_m$等价

2. $ \beta_1, \beta_2, …, \beta_m$ 是正交组。

再将$ \beta_1, \beta_2, …, \beta_m$单位化就得到了单位正交组。

正交矩阵

定义：若n阶方阵A满足 $A^T A = E$ 则称A为n阶正交矩阵。

性质：

1. A为正交矩阵，则 |A| = 1或-1

2. A为正交矩阵，则$A^T = A^{-1}$，也是正交矩阵。

3. 若A，B均为n阶正交矩阵，则AB和BA也都是正交矩阵。

判定定理：矩阵A为正交矩阵等价于 A的行（列）向量组是单位正交向量组。

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