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线性代数知识梳理3——向量

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向量和向量空间理论是重要的数学工具。中学接触的向量是二维和三维的,在线性代数中我们把它扩充到n维。

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向量的定义

定义:由数a1, a2, … , an组成的有序数组成为n维向量,简称向量。

向量通常用希腊字母\( \alpha , \beta, \gamma \)表示 。

$$ \alpha = (a_1, a_2, …, a_n)  或  \alpha =  \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \\ \end{pmatrix} $$

分别称为行向量和列向量。虽然行向量和列向量本质上都是有序的数字,但在线性代数中有一点不同。行向量可以看做1*n维矩阵,列向量可以看做n*1的矩阵,在与矩阵运算时会不同。

矩阵和向量

矩阵A有m行n列,则A的每行为一个n维行向量,A的列是m维列向量。单位矩阵的n个列向量又称为n维基本向量。

向量的模

定义:若\( \alpha = (a_1, a_2, …, a_n) \), 则数值 \( \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2}\) 称为向量的模(又叫长度、范数),记作 \(|| \alpha ||\)

\( || \alpha || = 1\)的向量称为单位向量。

向量的线性运算

设 \( \alpha = (a_1, a_2, …, a_n) , \beta = (b_1, b_2, …, b_n)\) ,k是实数,则向量加法和数乘定义为

$$ \alpha + \beta = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, …, a_n + b_n)$$

$$ k \alpha = (ka_1, ka_2, …, ka_n)$$

向量的加法和数乘统称为向量的线性运算。如果把向量看做1*n的矩阵,这种定义和矩阵中的加法和数乘一致,也满足矩阵中的相应运算律。

向量的运算律

1. 加法交换律

$$ \alpha + \beta = \beta + \alpha$$

2. 加法结合律

$$(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$$

3. 加法单位元为零向量 0

$$ \alpha + 0 = 0 + \alpha = \alpha$$

4. 加法的可逆性

$$ \alpha + (-\alpha) = 0$$

5. 数乘对加法的分配律

$$k(\alpha + \beta) = k\alpha + k \beta$$

$$(m+n)\alpha = m\alpha + n\alpha$$

6. 数乘的结合律

$$(kl\alpha) = k(l \alpha)$$

7. 数乘运算的单位元是1

$$1 \alpha = \alpha$$

向量组的线性相关性

向量的线性组合

设\( \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m \)是\(R^n\)中的向量,k1, k2,…,km是R中的数,则形如下面式子的和

$$ k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + … + k_m \alpha_m$$

称为向量\( \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m \)的线性组合。

$$ \beta = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + … + k_m \alpha_m$$

则称\(\beta\)是向量\( \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m \)的线性组合,或称 \(\beta\)可由\( \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m \)线性表示。

向量组的等价

设有两个n维向量组

$$1.  \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r$$

$$2.  \beta_1, \beta_2, …, \beta_s$$

若向量组1中每个向量都可以用向量组2线性表示,则称向量组1可由向量组2线性表示;

若向量组2中每个向量都可以用向量组1线性表示,则称向量组2可由向量组1线性表示;

如果向量组1和向量组2可以互相线性表示,则两个向量组等价。

向量组的等价也具有三个性质:自反性、对称性、传递性。

向量组的线性相关

定义:设向量组\( \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m \) ,若存在一组不全为0的数 k1, k2, …, km,使

$$k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + … + k_m \alpha_m = 0$$

则称向量组\( \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m \)线性相关。否则,称向量组\( \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m \)线性无关。

向量组只有一个向量时,如果是0向量,则k0 = 0 有非零解,说明0向量线性相关。包含0向量的向量组也是线性相关的。

如果单个的非零向量 ka = 0 则只有0解 ,单个的非零向量线性无关。

两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。

线性相关的判定定理

相关性和线性组合的关系

定理1:向量组a1, a2, …, am线性相关的充要条件是至少有1个向量可以用其余m-1个向量线性表示。

定理2:设向量组a1,a2,…, a3线性无关,而向量组 b, a1, a2, …, am 线性相关,则b可由a1, a2, …, am线性表示且表示式唯一。

相关性的判定

定理3:在一个向量组中,若有部分向量线性相关,则整个向量组线性相关。

推论:整个向量组线性无关时,则其中的部分向量线性无关。

定理4:m个n维向量\( \alpha_i = (a_{i1}, a_{i2}, …, a_{in})\)线性相关的充要条件是构成的矩阵的秩小于m。

$$A =  \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots& \vdots&\ddots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}$$

推论1:m>n时(向量个数大于向量维数),m个n维向量线性相关。

推论2:m个n维向量线性无关的充要条件是构成的矩阵的秩等于m。

推论3:n个n维向量线性无关的充要条件是构成的矩阵A满秩。

推论4:n个n维向量线性相关的充要条件是构成的矩阵A降秩。

定理5:m个r维向量线性无关,则把每个向量添加一维后,m个r+1维的向量仍然线性无关。即:线性无关的向量组,添加分量后仍线性无关。

向量组的极大线性无关组和秩

极大无关组

定义:若向量组T的部分向量组 \( \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r \) 线性无关,且T中任意向量均可由 \( \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r \)线性表示,则称  \( \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r \) 是向量组T的极大线性无关组,简称极大无关组。

无关指的是极大线性无关组中的向量线性无关。

极大指的是 再添加任意一个其余的向量,就不是线性无关组了。

显然,向量组和它的极大无关组等价。本身就是线性无关的向量组的极大无关组就是它本身。

一个向量组的极大无关组不一定唯一,但是等价的。

定理1:若向量组 \( \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r \) 线性无关,且可由向量组 \( \beta_1, \beta_2, …, \beta_s \) 线性表示,则 \(r \le s\)。

推论1(逆否命题): 若向量组 \( \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r \)可由向量组 \( \beta_1, \beta_2, …, \beta_s \) 线性表示,且 r>s,则向量组  \( \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r \) 线性相关。

推论2:任意两个线性无关的等价向量组所含向量个数相等。

定理2:一个向量组的任意两个极大无关组所含向量个数相等。

向量组的秩

定义:向量组  \( \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m \) 的极大线性无关组所含的向量个数成为向量组的秩,记作 r(\( \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m \) ) 。

根据定义可以得到:向量组线性无关  等价于 秩等于向量个数。

定理3: 若向量组 \( \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r \)可由向量组 \( \beta_1, \beta_2, …, \beta_s \) 线性表示,则 \( r(\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r) \le r(\beta_1, \beta_2, …, \beta_s)  \) .

上面说到,向量组的等价即两个向量组可以互相表示,则它们有相同的秩。显然,有相同的秩的向量组不一定等价。

求向量组的秩

矩阵行向量组的秩叫做矩阵的行秩,矩阵列向量组的秩叫做矩阵的列秩。

定理4:矩阵的行秩和列秩相等,叫矩阵的秩。向量组的秩和该向量组构成的矩阵的秩相等。

求向量组的极大无关组

采用列摆行变换法。把向量组按列摆成矩阵,对矩阵作初等变换。化为梯形阵后,在每个高度上取一个向量就得到了极大无关组。

使用向量可以证明矩阵中的关于秩的不等式。

向量空间

运算的封闭性的定义:设V是n维向量的非空集合,如果对V中的向量进行加法和数乘运算后的向量仍属于V,则称V对于向量加法及数乘两种运算封闭。

向量空间的定义:设V是n维向量的非空集合,如果V对于向量加法及数乘两种运算封闭,则称集合V为n
维向量空间,简称为向量空间。

向量空间的基和维数

定义:若n维向量空间V中的向量组 \( \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r \) 线性无关,且V中任意向量均可由 \( \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r \)线性表示,则称  \( \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r \) 是V的一个基。 基中所含的向量个数成为向量空间的维数。

这个定义和向量组的极大无关组和秩的概念类似。

向量在基下的坐标

定义:设\( \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r \) 是V的一个基 ,\(\beta \in V\) ,且

$$\beta =  k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + … + k_r \alpha_r$$

则称系数k1, k2, … , kr是 \( \alpha \)在基\( \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r \)下的坐标。

向量在确定的基下的坐标是唯一的。在不同的基下有不同的坐标。

向量组的正交性

向量内积

定义:设有向量 \( \alpha = (a_1, a_2, …, a_n) , \beta = (b_1, b_2, …, b_n)\)

则它们的内积定义为

$$(\alpha, \beta) = a_1b_1 + a_2b_2 + … + a_nb_n$$

内积的性质:

1. \( (\alpha, \beta) = \alpha \beta^T \)

2. \( (\alpha, \beta) = (\beta, \alpha) \)

3. \( (k\alpha, \beta) = (\beta, k\alpha) = k(\beta, k\alpha)\)

4. \( (\alpha + \beta, \gamma) = (\alpha, \gamma) + (\beta, \gamma) \)

5. \( (\alpha, \alpha) = ||\alpha||^2 \)

向量单位化

单位向量模为1,向量数乘它的模的倒数就成了单位向量。

向量的正交性

定义1:若 \( (\alpha, \beta) = 0\) ,则称向量\(\alpha\) 与 \(\beta\)正交。

定义2:m个n维非零向量两两正交,则成为正交向量组。简称正交组。

定理: 正交向量组线性无关。

向量组的正交规范化

设 \( \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m \)为线性无关的向量组,令

$$ \beta_1 = \alpha_1$$

$$\beta_2 = \alpha_2 – \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1$$

$$\beta_3 = \alpha_3 – \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 – \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)} \beta_2$$

…………

$$\beta_m = \alpha_m – \frac{(\alpha_m, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 – \frac{(\alpha_m, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)} \beta_2 – … – \frac{(\alpha_m, \beta_{m-1})}{(\beta_{m-1}, \beta_{m-1})} \beta_{m-1}$$

1. \( \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m \) 与 \( \beta_1, \beta_2, …, \beta_m\)等价

2. \( \beta_1, \beta_2, …, \beta_m\) 是正交组。

再将\( \beta_1, \beta_2, …, \beta_m\)单位化就得到了单位正交组。

正交矩阵

定义: 若n阶方阵A满足 \(A^T A = E\) 则称A为n阶正交矩阵。

性质:

1. A为正交矩阵 ,则 |A| = 1或-1

2. A为正交矩阵,则\(A^T = A^{-1}\),也是正交矩阵。

3. 若A,B均为n阶正交矩阵,则AB和BA也都是正交矩阵。

判定定理:矩阵A为正交矩阵 等价于 A的行(列)向量组是单位正交向量组。

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