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线性代数知识梳理6——二次型

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二次型起源于几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究,它是线性代数的重要内容之一,在一些其他数学分支以及其他学科中也有重要地位。

二次型

二次型的定义

定义:含有n个变量 \(x_1, x_2, …, x_n\) 的二次齐次多项式

$$f(x_1, x_2, …, x_n) = a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2 a_{13}x_1x_3 + … + 2a_{1n}x_1x_n$$

$$+ a_{22}x_2^2 + 2 a_{23}x_2x_3 + … + 2a_{2n}x_2x_n$$

$$+ a_{33}x_3^2 + … + 2a_{3n}x_3x_n$$

$$+ … + a_{nn}x_n^2$$

称为n元二次型,简称二次型。

二次型的标准型:只含平方项的二次型,即

$$f(x_1, x_2, …, x_n) = d_1x_1^2 + d_2x_2^2 + … + d_nx_n^2$$

成为二次型的标准型。

二次型本质是一个多元二次函数,应该属于函数的研究内容,但是把二次型用矩阵表示之后,有了矩阵这个强有力的工具,我们能更容易的研究二次型。

二次型的矩阵表示

上面的多项式,x下标不同的时候,我们写成了2倍系数的形式,如果把这一项均分成两项, \(2 a_{12}x_1x_2\) 就变成了 \( a_{12}x_1x_2 + a_{21}x_2x_1\) ,这样,可以把上面三角形的二次型写成矩形的样子

$$f(x_1, x_2, …, x_n) $$

$$= a_{11}x_1^2 + a_{12}x_1x_2 + a_{13}x_1x_3 + … + a_{1n}x_1x_n$$

$$+ a_{21}x_2x_1+ a_{22}x_2^2 + a_{23}x_2x_3 + … + a_{2n}x_2x_n$$

$$+ ……$$

$$+ a_{n1}x_nx_1+ a_{n2}x_nx_2 + a_{n3}x_nx_3 + … + a_{nn}x_n^2$$

进而写成矩阵形式

$$(x_1, x_2, …, x_n)  \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots& \vdots&\ddots &\vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{pmatrix} $$

我们把

$$X^T A X $$

这种形式成为二次型的矩阵表示式。我们要求矩阵A是对称的,这样每个二次型对应的矩阵就是唯一的了。

矩阵A的秩称为二次型f的秩。

线性变换矩阵

线性变换

$$\left\{
\begin{array}{c}
y_1 = c_{11}x_1 + c_{12}x_2 + … + c_{1n}x_n \\
y_2 = c_{21}x_1 + c_{22}x_2 + … + c_{2n}x_n \\
………………. \\
y_n = c_{n1}x_1 + c_{n2}x_2 + … + c_{nn}x_n \\
\end{array}
\right.$$

的矩阵

$$C =  \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots& \vdots&\ddots &\vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \\ \end{pmatrix}$$

若C是可逆的,则称线性变换为可逆线性变换。

若C是正交的,则称线性变换为正交变换。

矩阵的合同

定义:设A,B为两个n阶矩阵,若存在n阶可逆矩阵P,使得

$$P^T A P = B$$

则称矩阵A与B合同。矩阵的合同关系具有自反性,对称性和传递性。

回忆一下矩阵相似中的关系式:\( P^{-1} A P = B\)

不难发现矩阵相似和合同都可以得到矩阵等价。矩阵等价则有相同的秩。

矩阵相似和合同没有什么关系,因为我们不能保证P的转置和P的逆是相同的。但是如果P是正交矩阵,有\( P ^T = P^{-1}\) ,则此时正交相似和正交合同是一致的。

定理:实对称矩阵一定与对角阵合同(正交相似)。

二次型的变换

若二次型

$$f(x_1, x_2, …, x_n) = X^T A X $$

作可逆变换 X = CY ,则

$$f = (CY)^T A (CY) = Y^T (C^T A C) Y$$

令 \(B = C^T A C \) 显然 \(B^T = (C^T A C)^T = B\)

$$Y^T B Y$$

也是二次型。 A与B合同,则r(A) = r(B) .

化二次型为标准型

化二次型为标准型是二次型的基本问题,它的目标是用可逆线性变换把二次型变成平方项,即二次型的标准型。

二次型的标准型只含有平方项,对应的矩阵就是对角矩阵。将二次型化为标准型,就是找可逆矩阵C,使得

$$C^T A C = \Lambda , \lambda 是对角阵$$

因为实对称矩阵与对角阵正交合同,因此二次型都可以化为标准型。

定理:对实二次型 \(f = X^T A X\) ,总有正交变换 X=QY ,使得

$$f = X^T A X = (QY)^T A (QY) = Y^T (Q^TAQ)Y = Y^T \Lambda Y$$

$$= \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + … + \lambda_ny_n^2$$

$$Q^TAQ = \Lambda =  \begin{pmatrix}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2& &\\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n \\
\end{pmatrix}$$

\(\lambda_1, …, \lambda_n\) 是f的矩阵A 的特征值。

用正交变换化二次型为标准型

1. 写出二次型的矩阵A

2. 参照上一节 将实对称矩阵A化为对角阵的正交阵的步骤

2.1. 求出A的所有相异特征值。

2.2. 对于每个k重特征值,求出k个线性无关的特征向量。

2.3. 用施密特正交化方法把每一个重特征值对应的特征向量正交化,然后进行单位化。

2.4. 把上面求得的正交单位向量作为列向量,排成n阶方阵Q ,则Q就是所求的正交方阵。此时

$$Q^{-1}AQ = Q^{T}AQ = \Lambda$$

3. 作正交变换 X=QY ,即可把二次型化为标准型

$$f = X^T A X = (QY)^T A (QY) = Y^T (Q^TAQ)Y = Y^T \Lambda Y$$

正交变换不改变图形的形状

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待补充

配方法化二次型为标准型

二次型中含有平方项时,如含有x1^2,先把含有x1 的项放一起,对x1 配成完全平方。再处理含有x2 的项,对x2 配成完全平方,如此继续下去,直到化为标准形。

例:

$$f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 2 x_2^2 + 5x_3^2 + 2x_1x_2 + 4x_2x_3$$

$$=(x_1^2 +2x_1x_2) + 2 x_2^2 + 5x_3^2 +  4x_2x_3$$

$$=(x_1+x_2)^2 + x_2^2 + 5x_3^2 +  4x_2x_3$$

$$=(x_1+x_2)^2 + (x_2+2x_3)^2 + x_3^2$$

$$\left\{
\begin{array}{c}
y_1 = x_1 + x_2\\
y_2 = x_2 + 2x_3 \\
y_3 = x_3 \\
\end{array}
\right.$$

$$\left\{
\begin{array}{c}
x_1 = y_1 – y_2 + 2y_3\\
x_2 = y_2 – 2y_3 \\
x_3 = y_3 \\
\end{array}
\right.$$

$$C = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 2\\
0 & 1 & -2\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}$$

如果二次型中不含有平方项,只含有\(x_ix_j\)的项,先做可逆线性变换

$$\left\{
\begin{array}{c}
x_i = y_i + y_j\\
x_j = y_i – y_j \\
x_k = y_k , k \neq i, j. \\
\end{array}
\right.$$

正定二次型

定义: $$f(x_1, x_2, …, x_n) = X^T A X $$

若f > 0 恒成立,则称二次型为正定二次型,对应的矩阵A称为正定矩阵。

f < 0 恒成立 ,则为负定二次型。

大于等于 -> 准正定

小于等于 ->准负定

若f既可以大于0又可以小于0,则成为不定二次型。

判定

方法一:用定义

方法二:用二次型的标准型

定理1:标准二次型 \(f(x_1, x_2, …, x_n) = d_1x_1^2 + d_2x_2^2 + … + d_nx_n^2 \) 正定的充要条件是 \(d_i\)都是正数。

定理2:可逆线性变换不改变二次型的正定性。

定理3:二次型正定的必要条件是对应的标准二次型中n个系数全为正数。

推论1:二次型正定的充要条件是矩阵A的特征值全是正数。

推论2:若A正定,则|A| > 0

推论3:若A正定,则A与单位阵合同,即有可逆矩阵C,使得

$$C^T A C = E$$

证明:取

$$C = \begin{pmatrix}
\frac{1}{\lambda_1} & & & \\
& \frac{1}{\lambda_2}& &\\
& & \ddots & \\
& & & \frac{1}{\lambda_n} \\
\end{pmatrix}$$

方法三:用特征值全部大于0

方法四:顺序主子式

定义:位于矩阵A的左上角的1,2 ,…,n阶子式,成为矩阵A的1 ,2,…,n阶顺序主子式。

定理:二次型正定的充要条件是矩阵A的各阶顺序主子式都大于0

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