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线性代数知识梳理5——特征值和特征向量

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特征值和特征向量是线性代数的主要内容之一,它们在物理学和统计学中都有很大的用处。另外还有一个小小的用处,求矩阵的m次幂。特征值和特征向量都是针对方阵来说的。

矩阵的相似

定义:设A与B都是n阶方阵,若存在一个可逆矩阵P,使得

$$B = P^{-1}AP$$

则称矩阵A与B相似,记作 \(A \sim B\) 。可逆矩阵P称为相似变换矩阵。

矩阵的相似关系具有自反性、对称性、传递性。

相似矩阵一定是等价矩阵。

性质

1. \( A \sim B \Rightarrow r(A) = r(B)\)

2. \( A \sim B \Rightarrow |A| = |B|\)

3. \( A \sim B \Rightarrow\) A与B同时可逆或不可逆,且可逆时 \( A^{-1} \sim B^{-1} \)

4. \( A \sim B \Rightarrow f(A) \sim f(B) , f(x) = a_mx^m + a_{m-1}x^{m-1} + … + a_1x + a_0\)

$$f(A) = a_mA^m + a_{m-1}A^{m-1} + … + a_1A + a_0$$

$$f(B) = a_mB^m + a_{m-1}B^{m-1} + … + a_1B + a_0$$

证明:

特征值和特征向量

特征值和特征向量,来自维基百科

特征值和特征向量,来自维基百科

定义

设A是n阶矩阵,\( \lambda \)是一个数,若存在非零向量 \(\alpha\) ,使得

$$A \alpha = \lambda \alpha$$

则称数 \( \lambda \) 是矩阵A的特征值,非零向量 \(\alpha\) 是矩阵A对应于特征值 \( \lambda \) 的特征向量。

求法

$$A \alpha = \lambda \alpha , \alpha \neq 0$$

移项得到

$$A \alpha – \lambda \alpha = 0$$

$$( A – \lambda E ) \alpha = 0$$

\( \alpha \)可以看做齐次方程组 \( ( A – \lambda E ) X = 0 \) 的非零解。

根据方程组的知识,方程组有非零解则系数行列式

$$|A – \lambda E| = 0$$

从上面式子中解出 \(\lambda\) ,就得到了矩阵的特征值。而方程组\( ( A – \lambda E ) X = 0 \)的非零解就是对应的特征向量。

例:求矩阵A的特征值和特征向量

$$A = \begin{pmatrix}
1 & -2 & 2\\
-2 & -2 & 4\\
2 & 4 & -2\\
\end{pmatrix}$$

解:

$$|A – \lambda E| = \begin{vmatrix}
1-\lambda & -2 & 2\\
-2 & -2-\lambda & 4\\
2 & 4 & -2-\lambda \\
\end{vmatrix}$$

$$ = -(\lambda – 2)(\lambda + 7)(\lambda – 2)$$

$$\lambda_1 = \lambda_2 = 2, \lambda_3 = -7$$

对于特征值1 ,解\( (A – 2E )X = 0\)

$$A – 2E = \begin{vmatrix}
1-(2) & -2 & 2\\
-2 & -2-(2) & 4\\
2 & 4 & -2-(2) \\
\end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix}
-1 & -2 & 2\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 \\
\end{vmatrix}$$

特征向量为

$$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\  \end{pmatrix}  和 \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \\  \end{pmatrix}$$

同理可得 特征值-7对应的特征向量为 \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \\  \end{pmatrix}\)

性质

性质1:n阶矩阵A的不同特征值对应的特征向量线性无关。

证明:

性质2:相似矩阵有相同的特征值。

证明:

性质3:设 \( \lambda\)是A的特征值,则

1.  \( \lambda\)A 的特征值是 k \( \lambda\)

2. \( \A^m\) 的特征值是 \( \lambda^m\)

3. f(A) 的特征值是 f(\( \lambda\))

$$f(A) = a_mA^m + a_{m-1}A^{m-1} + … + a_1A + a_0$$

4. \( A^{-1}\) 的特征值是 \( \lambda^{-1}\)

5. \(A^*\) 的特征值是 \( \frac{|A|}{\lambda}\)

6. \(A^T\) 的特征值是 \( \lambda\)

性质4:特征值和矩阵的关系

$$ \lambda_1 \lambda_2… \lambda_n = |A|$$

$$\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_n = a_{11} + a_{22} + … + a_{nn}$$

一般矩阵的相似对角化

矩阵与对角阵相似的条件

定义:若存在可逆阵P,使 \(p^{-1} A P = \Lambda\) ,其中 \(\Lambda\) 是对角矩阵。则矩阵A与对角阵相似,称A可对角化。

设P = (P1, P2, …, Pn)

$$\Lambda = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2& &\\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n \\
\end{pmatrix}$$

$$p^{-1} A P = \Lambda   \Rightarrow  AP = P\Lambda$$

$$(AP_1, AP_2, …, AP_n) = (\lambda_1P_1, \lambda_2P_2, …, \lambda_nP_n)$$

$$AP_i = \lambda_iP_i$$

则 \( \lambda_1, \lambda_2, …, \lambda_n\) 是特征值,\(P_1, P_2, …, P_n\)是特征向量。

反过来也是成立的。由此可以得到

定理: n阶方阵A与对角阵相似的充要条件是 A 有 n个线性无关的特征向量。即:A的k重特征值恰好有k个线性无关的特征向量。

要看一个特征值对应几个线性无关的特征向量,只要看方程组基础解系中向量的个数,只要看系数矩阵 \((A – \lambda E)\)的秩,k重特征值有k个特征向量满足 r\((A – \lambda E)\) = n – k

求可对角化方阵的m次幂

要求A^m ,我们已经有 \(p^{-1} A P = \Lambda\) ,即

$$A = P \Lambda P^{-1}$$

$$A^m = (P \Lambda P^{-1})^m = (P \Lambda P^{-1})(P \Lambda P^{-1})(P \Lambda P^{-1})…(P \Lambda P^{-1})(P \Lambda P^{-1})$$

$$=P \Lambda (P^{-1}P) \Lambda (P^{-1}P) \Lambda (P^{-1}  …  P) \Lambda (P^{-1}P)  \Lambda P^{-1})$$

$$= P \Lambda^m P^{-1}$$

对角阵的m次幂很容易求出来

相似对角化的步骤

1. 判定:A的所有特征值。如果没有重根,则A与对角阵相似。

所有重根,每个k重根对应k个线性无关的特征向量(r\((A – \lambda E)\) = n – k),则A与对角阵相似。

否则A不与对角阵相似。

2. 求出A的n个特征值\(\lambda_1, \lambda_2, …, \lambda_n\),n个特征向量\(\xi_1, \xi_2, …, \xi_n\),则有

$$P = (\xi_1, \xi_2, …, \xi_n)$$

$$P^{-1} A P = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2& &\\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n \\
\end{pmatrix}$$

实对称矩阵

实对称矩阵的特征值和特征向量

性质1:实对称矩阵的特征值都是实数。

证明:

性质2:实对称矩阵的相异特征值对应的特征向量正交。

向量正交则一定线性无关,可见实对称矩阵的性质更强一点。

性质3:实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰好有k个。

由此得到:实对称矩阵一定与对角阵相似。

由性质2和3得到:实对称矩阵A一定与对角阵正交相似。

求将实对称矩阵A化为对角阵的正交阵

1. 求出A的所有相异特征值。

2. 对于每个k重特征值,求出k个线性无关的特征向量。

3. 用施密特正交化方法把每一个重特征值对应的特征向量正交化,然后进行单位化。

4. 把上面求得的正交单位向量作为列向量,排成n阶方阵Q ,则Q就是所求的正交方阵。此时

$$Q^{-1}AQ = Q^{T}AQ = \Lambda$$

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