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微积分知识梳理3——导数

导数是微积分中重要的基础概念,可以用来研究变化率等问题。如果知道函数在各个点的变化率,就可以在一个点估计函数的微小改变量,这叫做函数的微分。

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导数的定义

导数的产生来源于两大问题:瞬时速度和曲线的切线。平均速度就是运动的物体走过的位移和所用时间的比值,当时间很小很小趋向于0时,就是瞬时速度。

Derivative

定义 2.1 导数的定义

设y=f(x)在(a, b)上有定义,\(x \in (a, b)\)。若极限

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x}$$

存在,则称f(x)在x点可导,称该极值为f(x)在x点的导数,记作

$$y’ = f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x}$$

导数的定义中,还有另一种形式,

$$f'(x_0) = \lim_{ x \to x_0} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}$$

如果f(x)在每一点都有导数,则f'(x)也是x的函数,称为f(x)的导函数,简称导数,常记作f’。

导数还有另一种记号,莱布尼茨引入记号

$$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

来表示导数,象征着导数是改变量之比的极限,并把导数称为“微商”。

和极限与左右极限的关系类似,也有左右导数的概念。

从导数的定义可以知道,导数是在一个点的性质,它反映函数在一个点处,函数值随自变量变化而变化的快慢。如果导数大于0,函数值随自变量增加而增加;如果导数小于0,则函数值随自变量的增加而减小。

用定义求初等函数的导数

例2.1  f(x) = C

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x} = \frac{C-C}{\Delta x} = 0$$

 

例2.2 \(f(x) = x^n\) n是正整数

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x} = \frac{(x+\Delta x)^n – x^n}{\Delta x} =  \frac{(x+\Delta x)^n – x^n}{\Delta x}$$

使用二项式定理展开

$$ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^n + n x^{n-1} \Delta x + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2}(\Delta x)^2 + \cdots + (\Delta x)^n – x^n}{\Delta x} $$

$$= \lim_{\Delta x \to 0} n x^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2}(\Delta x) + \cdots + (\Delta x)^{n-1} $$

$$= n x^{n-1} $$

 

例2.3  \(f(x) = a^x\)

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^{x+\Delta x} – a^x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^x ( a^{\Delta x} – 1) }{\Delta x}$$

根据极限的运算法则,和 常用极限4

$$f'(x) = a^x \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^{\Delta x} – 1}{\Delta x} = a^x \ln a$$

 

例2.4 \(f(x) = \log_a^x , x>0\)

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\log_a^{x+\Delta x} – \log_a^x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\log_{a}^{\frac{x+\Delta x}{x}}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\log_{a}^{1 + \frac{\Delta x}{x}}}{\Delta x} $$

 

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x}\log_{a}^{1 + \frac{\Delta x}{x}} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{x} \frac{x}{\Delta x}\log_{a}^{1 + \frac{\Delta x}{x}}$$

根据对数的性质定理1.4.2 重要极限2

$$f'(x) = \frac{1}{x} \lim_{\Delta x \to 0} \log_{a}^{(1 + \frac{\Delta x}{x})^{\frac{x}{\Delta x}}} = \frac{1}{x} \log_a^e$$

例2.5 \(f(x) = \sin x\)

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x+\Delta x) – \sin x}{\Delta x} = $$

利用三角函数的和差化积

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} 2 \frac{ \cos \frac{x+\Delta x + x}{2} \sin \frac{x+\Delta x – x}{2} }{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos \frac{2x+\Delta x}{2} \sin \frac{\Delta x }{2}}{\frac{\Delta x}{2}}$$

根据极限的性质第一个重要极限

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \cos \frac{2x+\Delta x}{2} = \cos x $$

类似的,还可以求得\((\cos x)’ = – \sin x\)

求导法则

可导函数的和、差、积、商、复合以及反函数同样是可导的。

下面的定理对于有限个函数也是成立的。

定理3.1.1 和的导数

设f和g都是可导函数,则他们的和是可导的,且

$$(f+g)’ = f’+g’$$

证明:

令\(y(x) = f(x)+g(x)\),则

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{(f(x+\Delta x) + g(x+\Delta x) ) – (f(x)+g(x))}{\Delta x} = \frac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x} + \frac{g(x+\Delta x) – g(x)}{\Delta x}$$

所以

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x}     \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x) – g(x)}{\Delta x} = f'(x) + g'(x)$$

定理3.1.2 积的导数

设f和g是可导函数,则他们的积是可导的,且

$$(fg)’ = f’g + fg’$$

证明:

根据f和g是可导函数,我们已知条件有

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

$$g'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}$$

而看等式的左边

$$(fg)’ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x) -f(x)g(x) }{\Delta x}$$

为了凑出已知的两个等式,我们要减去\(g(x+\Delta x)f(x)\),这样把\(g(x+\Delta x)\)提出来之后就有了已知的第一个等式。相应的,还要再加回去\(g(x+\Delta x)f(x)\),和后面的一项提出f(x)就有了已知的第二个等式

$$(fg)’  = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x) -g(x+\Delta x)f(x)  + g(x+\Delta x)f(x)  -f(x)g(x) }{\Delta x} $$

$$=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) -f(x) }{\Delta x} g(x+\Delta x) + f(x) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x) -g(x) }{\Delta x} $$

$$= f’g+fg’$$

定理3.1.3 商的导数

设f和g是可导函数,且g(x) 不等于0 ,则他们的商是可导的,且

$$(\frac{f}{g})’ = \frac{f’g-fg’}{g^2}$$

证明:

先来证明

$$(\frac{1}{g})’ = – \frac{g’}{g^2}$$

$$(\frac{1}{g})’ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{1}{g(x+\Delta x)} – \frac{1}{g(x)} }{\Delta x}$$

$$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x) – g(x+\Delta x)}{g(x)g(x+\Delta x) \Delta x} $$

$$=- \frac{g’}{g^2}$$

根据积的导数公式

$$(\frac{f}{g})’ = (f \cdot \frac{1}{g})’ = f’ \frac{1}{g} + f (\frac{1}{g})’ = \frac{f’}{g} – \frac{fg’}{g^2}   =  \frac{f’g-fg’}{g^2}$$

证毕。

例 2.6 f(x) = tan x

$$f'(x) = (\frac{\sin x}{\cos x})’ = \frac{\cos x \cos x + \sin x \sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

类似的,可以求得\((\cot x)’ = – \frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x\)

例2.7 f(x) = sec x

$$f'(x) = (\frac{1}{\cos x})’ = \frac{-\sin x}{\cos^2 x} = -\sec x \tan x$$

类似的,可以求得 \((csc x)’ = \csc x \cot x\)

复合函数的求导法则

若f(x)和g(x)可导,则复合函数f( g(x) )可导,且有

$$f( g(x) )’ = f'( g(x) ) g'(x)$$

这个公式成为链式法则。也就是从外到内逐层函数对相应变量求导,然后相乘。

证明:

令u = g(x) ,定义一个函数h(x)

$$ h(x) = \begin{cases}\frac{f(u) – f(u_0)}{u – u_0} & u \neq u_0 \\ f'(u_0) &u = u_0  \end{cases} $$

因为\(\lim_{u \to u_0} h(u) = f'(u_0) = h(u_0) \),所以h(u)在\(u_0\)处连续

在\(u_0\)附近

$$f(u) – f(u_0) = h(u)(u – u_0)$$

$$f[g(x)] – f[g(x_0)] = h[g(x)](g(x) – g(x_0))$$

$$\frac{ f[g(x)] – f[g(x_0)] }{x – x_0 }= h[g(x)]   \frac{ g(x) – g(x_0)}{x – x_0}$$

令\(F(x) = f[g(x)]\),则

$$\frac{ F(x) – F(x_0) }{x – x_0 }= h(g(x))   \frac{ g(x) – g(x_0)}{x – x_0}$$

$$\lim_{x \to x_0} \frac{ F(x) – F(x_0) }{x – x_0 }= \lim_{x \to x_0} h(g(x))   \frac{ g(x) – g(x_0)}{x – x_0}$$

因为 \(\lim_{x \to x_0} h[g(x)] =  h[g(x_0)] = h(u_0) = f'(u_0) \)

$$F'(x_0) = f'(u_0)g'(x_0) = f'[ g(x_0)] g'(x_0)$$

证毕。

例2.8 f(x) = \(x^a\)

$$f(x) = e^{\ln x^a} = e^{a \ln x}$$

$$f'(x) = e^{a \ln x}  \frac{a}{x} = x^a \frac{a}{x} = a x^{a-1}$$

例2.9 f(x) = \sinh x = \frac{e^x – e^{-x}}{2}

$$f'(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$$

类似的,有\((\cosh x)’ = \sinh x\)

例2.10 \( f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1})\)

$$f'(x) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} (1 + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} 2x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$

反函数的求导法则

\(若函数f(x)在x0处可导,且f'(x0)存在且不等于0,则其反函数x = f^{-1}(y)在x_0=f^{-1}(y_0)处可导\)

$$(f^{-1}(y_0))’ = \frac{1}{f'(x_0)}$$

证明:

$$(f^{-1}(y_0))’ = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f^{-1}(y+\Delta y) – f^{-1}(y)}{\Delta y} $$

$$= \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{1}{f'(x_0)}$$

例2.11 \(y = \arcsin x\)

$$x = \sin y$$

$$y’ = \frac{1}{(\sin y)’} = \frac{1}{cos y} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$

例2.12\( y = \arctan x \)

$$x = \tan y$$

$$y’ = \frac{1}{(\tan y)’} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1+x^2} $$

类似的,还可以求得

$$(\arccos x)’ = – \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$(cot x)’ = – \frac{1}{1+x^2}$$

隐函数求导

隐函数求导,一般可以等式两边分别求导,最后的结果一般含有x和y(x).

参数式求导

假设函数 x = u(t) y = v(t) 在[a,b]上可导,且 u'(t) 不为0,则

$$\frac{dy}{dx} = \frac{v'(t)}{u'(t)}$$

 

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