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连续是一种很普遍的现象，不断流逝的时间，物理上的运动，几何里的曲线都是连续的例子。

如果画一条连续的曲线，就要笔不能抬起，要连续的一笔画出。这是一种定性的说明，有了极限的概念后，我们可以从定量上分析连续。

我们先看一下反应实数连续性的实数基本定理。

实数基本定理——极限理论的基础

实数系的基本定理有许多个，它们是彼此等价的，以不同的形式刻画了实数的连续性和完备性，是极限理论的基础。请参考：

实数系的连续性——实数系的基本定理

实数基本定理我们只给出其中的几个的描述。

定理1.0.1 确界原理

非空有上（下）界的数集必存在上（下）确界。

定理 1.0.2 单调有界收敛定理

若数列单调增加（或单调减少），且有上（下）界，则数列极限存在。

定理1.0.3 闭区间套定理

对于任何闭区间套，必存在属于所有闭区间的公共点。若区间长度趋于零，则该点是唯一公共点。

设\([a_n,b_n(n=1,2,\cdots)\)是一连串闭区间，满足条件：

1. \(a_n \le a_{n+1} < b_{n+1} \le b_n，即[a_(n+1),b_(n+1)] \subset [a_n,b_n] (n=1,2,\cdots)\)

2.当\(n \to \infty \)时，区间\([a_n,b_n]\)的长度趋于0，即\(\lim_{n \to \infty}(b_n-a_n)=0\)。则存在唯一的实数\(\xi\)，使得

$$\lim_{n \to \infty}a_n=\xi=\lim_{n \to \infty}b_n$$

且\(\xi\)是所有闭区间的唯一公共点，即

$$\bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]=\{\xi\}$$

定理1.0.4 致密性定理

有界数列必有收敛子列。

定理1.0.5 柯西收敛准则

数列收敛的充要条件是其为柯西列。或者说：柯西列必收敛，收敛数列必为柯西列。

定义1.2 柯西数列

设\(\{x_n\}\)是一个数列，如果\(\forall \epsilon>0, \exists N, \forall m,n>N\)有

$$|x_n-x_m|<\epsilon$$

（也可以写成\(\lim_{m,n \to \infty}|x_n-x_m|=0\)），则称\(\{x_n\}\)为柯西数列。

函数的连续性

定义2.1 连续性的定义

设函数f(x)在a点的附近有定义。如果

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$

则称f(x)在a点是连续的。

在a点连续有3个条件：

1. 在a处有定义

2. 在a处极限存在

3. 极限值等于函数值

注意：

1. 连续是一个点的性质。知道一点连续后在其他点是否连续不知道。

2.连续比极限存在更强，极限不仅存在还等于函数值

3. 在a点连续时，有\(\lim_{x \to a} f(x) = f(a) = f(\lim_{x \to a})\)，可见连续时，求函数值和求极限可以互换。

4. \(\lim_{\Delta x \to 0} f(x_0) = 0\)

对应于左右极限，也有左连续和右连续的概念。

通常记$$f(x) \in C(a, b)$$ 表示f(x)在(a, b)上每一点都是连续的。

间断点

若函数在x0处连续，则有

$$f(x_0^-) = f(x_0) = f(x_0^+)$$

若上式不成立，连续性遭到破坏，我们称x0为f(x)的间断点。

第一类间断点

若左右极限都存在，是第一类间断点。

若左极限 = 右极限 ，则是可去间断点。

若左极限 != 右极限，跳跃间断点。

第二类间断点

若左右极限至少1个不存在，叫做第二类间断点。

连续函数的定性性质

定理2.1.1 保号性

若函数f(x)在a处连续，且f(a) > 0 ，则在a点附近f(x)>0 。即

$$\exists \delta > 0, 使得f(x) > 0, x \in (a-\delta, a+\delta)$$

这个性质可以根据极限的保号性得到。

定理2.1.2 零点存在定理

若函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b) < 0 ，则

$$\exists \xi \in (a,b) ,使得f(\xi) = 0$$

证明：

$$假设x_1 < x_2 ,f(x_1) < 0 , f(x_2) >0$$

$$记a_1 = x_1 , b_1 = x_2$$

$$令c1 = \frac{1}{2}(a_1+b_1)$$

$$若f(c_1) > 0  取 [a_2,b_2] = [a_1,c_1]$$

$$若f(c_1) < 0   取[a_2,b_2] = [c_1,b_1]$$

这样取后[a,b]可以保证 左端点函数值小于0 右端点函数值大于0

按照这种方法找到一系列闭区间序列\([a_n, b_n]\)

根据区间套定理，

$$\exists \xi , \xi = \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n$$

所以$$\lim_{n \to \infty} f(a_n)= f(\xi)$$

$$\lim_{n \to \infty} f(b_n) = f(\xi)$$

根据极限的保号性

$$\lim_{n \to \infty} f(a_n)= f(\xi)  \le 0$$

$$\lim_{n \to \infty} f(b_n) = f(\xi) \ge 0$$

因此$$f(\xi) = 0$$

定理2.1.3 介值定理

若函数f(x)在[a,b]连续，且存在两点a, b使得f(a) < f(b)，则对于任意的f(a) < u < f(b)

$$\exists \xi ,使得  f(\xi) = u$$

介值定理是零点存在定理的推广，只需把x轴上下移动了

证明：

$$ f(\xi) = u$$

等价于

$$ f(\xi) – u = 0$$

$$F(x) = f(x) – u$$

F(x)是连续函数，且

$$F(a) = f(a) – u < 0$$

$$F(b) = f(b) – u > 0$$

根据零点存在定理，

$$\exists \xi ,使得  F(\xi) = 0$$

即$$f(\xi) = u$$

连续函数的运算性质

定理2.2.1 连续函数的四则运算

若函数f(x), g(x)均在x0处连续，则

f(x) + g(x) , f(x) g(x), f(x) / g(x) 均在x0处连续。

证明：

利用极限的四则运算和连续的定义即可。

定理2.2.2 复合函数的连续性

若函数g(x) 在x0处连续，f(u) 在u0处连续，

u0 = g(x0)，则f(g(x))在x0处连续。

证明：

利用复合函数的极限法则和连续的定义。

$$\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = f(u_0) = f(g(x_0))$$

定理2.2.3 反函数的连续性

若函数f(x)在[a,b]上单调连续，则其值域是一个闭区间[c, d]，且反函数

\(f^{-1}(x)\)在[c, d]上连续。

证明：

不妨设f(x)单调递增，y0是(c, d)中的任意一点

记\(x_0 = f^{-1}(y_0)\)

对于任意的\(\epsilon\)要使 $$ | f^{-1}(y) – f^{-1}(y_0) | < \epsilon$$

只要使$$ f^{-1}(y_0) – \epsilon < f^{-1}(y) < f^{-1}(y_0) + \epsilon$$

$$x_0 – \epsilon < f^{-1}(y) < x_0 + \epsilon$$

根据f(x)的单调性质

$$f(x_0 – \epsilon) < y <f( x_0 + \epsilon)$$

$$f(x_0 – \epsilon) – y_0 <y – y_0 <f( x_0 + \epsilon) – y_0$$

取$$\delta = min( y_0 – f(x_0 – \epsilon) , f( x_0 + \epsilon) – y_0)$$

当$$|y – y_0| < \delta$$时

有$$|f^{-1}(y) – f^{-1}(y_0) | < \epsilon$$

初等函数的连续性

6类基本初等函数都是连续的。

初等函数在其定义域区间内连续。

闭区间上连续函数的性质

闭区间上连续函数有界，存在最大最小值，这是闭区间特有的性质。

如果不是闭区间，连续函数没有这两个性质。因为开区间极限值可能在区间之外取到。

例如 y = 1 / x 在(0, 1)是连续的，但是没有上界。

定理2.3.1 有界性

若 \(f(x) \in C[a, b]\)，则 f(x) 在[a, b]上有界。

证明：

极限的局部有界性是在一点附近的性质，这个定理要证明的是区间上的性质，使用反证法。

假设 f(x) 在[a, b]上无界，也就是

$$\forall M > 0, \exists X_M \in [a, b] , |f(x_M)| > M$$

取 M = n,

$$\exists {X_n} \subset [a, b] , |f(X_n)| > n$$

根据实数的致密性定理

$$\exists {X_{n_k}} , \lim_{k \to \infty} X_{n_{k}} = \xi \in [a, b]$$

根据连续性 有

$$\lim_{k \to \infty} f(X_{n_{k}}) = f( \xi)$$

因为子列的关系，还有

$$| f(X_{n_{k}})| > n_k$$

两边取极限，得  \(f( \xi) > \infty\)

矛盾

定理2.3.2 最值定理（最大最小值存在定理）

若\(f(x)  \in C(a, b)\)，则f(x)在闭区间[a, b]上存在最大值和最小值。

$$\forall x \in [a,b] , f(\xi) \le f(x) \le f(\eta)$$

这个定理是建立在前一个有界性的基础上的，说明了最小上界和最大下界可以取到。

证明：

记$$M = sup {f(x) }$$

$$\forall n \in Z^+ , \exists x_n \in [a,b]$$

M再小一点就不是上界了

$$M – \frac{1}{n} < f(x_n) \le M $$

可以找到\(x_{n_k}\)是收敛的

$$\lim_{k \to \infty}x_{n_k} = \eta$$

根据极限的保号性

$$\eta \in [a, b]$$

根据连续性定义

$$\lim_{k \to \infty} f( x_{n_k}) = f(\eta)$$

子列满足数列的条件

$$M – \frac{1}{n} < f(x_{n_k}) \le M $$

同时取极限\(n \to \infty\)可得

$$f(\eta) = M$$

一致连续

函数的连续性是一个点性质，是局部的性质。把一点的连续性推广到一个范围上，就有了一致连续的概念。

我们先看一下\(f(x) = \frac{1}{x}\)在\( (0, +\infty)\)是连续的。

$$|f(x) – f(x_0)| = |\frac{1}{x} – \frac{1}{x_0}| = \frac{|x-x_0|}{x x_0}$$

$$ \le \frac{2}{x_0^2} |x-x_0| < \epsilon$$

在取\(\delta\)的时候，可以取

$$\delta = \frac{x_0^2}{2} \epsilon$$

可见，\(\delta\)的取法不仅和\(\epsilon\)有关，还和点x0有关。

从直观上可以看出，x0越小的时候，\(\delta\)也会越小。

再来看一下函数\(y = \sin x\)

$$|\sin x – \sin x_0| \le |x – x_0| < \epsilon$$

这个\(\delta\)的取法可以和点x0无关。

其实这两个函数的连续性是有差异的

一致连续的定义

设函数f(x)在I上有定义，若对任意的\(epsilon > 0\)

总存在 \(\delta > 0\)

使得对任意的\(x_1 \in I , x_2 \in I\)

只要\(|x_1 – x_2| < \delta\)

就有\(|f(x_1) – f(x_2)| < \epsilon\)成立，

则称函数f(x)在I上一致连续。

直观上讲，只要任意两点的距离足够小，这两点的函数值可以足够接近。

一致连续的必要条件

1.  若f(x)在[a,b]上一致连续，则\(f(x) \in C[a,b]\)

2.  若f(x)在(a,b)上一致连续，则f(x)在(a,b)上有界

闭区间上连续和一致连续的等价性

Cantor定理：

函数f(x)在闭区间[a,b]上一致连续的充分必要条件是：f(x)在闭区间[a,b]上连续。