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线性代数知识梳理4——线性方程组

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齐次线性方程组

三种形式:方程组、矩阵、向量

下面是m个方程,n个未知数的方程组,右边全部是0.

$$\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + … + a_{1n}x_n = 0 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + … + a_{2n}x_n = 0 \\
………………. \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + … + a_{mn}x_n = 0 \\
\end{array}
\right.$$

这称为齐次线性方程组。它的系数矩阵为

$$A =  \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots& \vdots&\ddots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}$$

它的解 x1, x2, …, xn也可以写成矩阵

$$X =   \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{pmatrix}$$

则上面的齐次线性方程组可以写成矩阵形式

$$AX = 0$$

如果用向量表示每一列,即

$$\alpha_1 =  \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \\ \end{pmatrix} , \alpha_2 =  \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \\ \end{pmatrix} , …, \alpha_n =  \begin{pmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \\ \end{pmatrix}$$

则可以写成向量形式

$$x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + … + x_n\alpha_n = 0$$

方程组的解

方程组的解x1, x2, …, xn可以写成向量的形式 \( (x_1, x_2, x_3, …, x_n)\),因此常把方程组的解成为解向量。

显然,零向量是齐次线性方程组的解。如果存在非零向量是方程组的解,则成为非零解。

性质1:齐次方程组的两个解的和仍是方程组的解。

性质2:齐次方程组的解得数乘仍是方程组的解。

若令 \( V = { \xi | A\xi = 0}\) ,则V构成一个向量空间,称为方程组的解空间。

基础解系

定义:若齐次方程组的有限个解 \(\xi_1, \xi_2, … , \xi_s\)线性无关,且方程组的任一个解都可以由其线性表示,则称\(\xi_1, \xi_2, … , \xi_s\) 是齐次方程组的一个基础解析。

可以看出,基础解析就是解空间的基。方程组的通解为

$$k_1\xi_1 + k_2 \xi_2 + … + k_s \xi_s$$

基础解系的求法

回忆矩阵的三种初等行变换,

1. 交换矩阵中第 i 行和第 j 行。记作 \(r_i \Leftrightarrow r_j\)

2. 用非零常数k乘第i行。记作 \( k r_i\)

3. 将第 j 行的 k 倍加到第 i 行。记作 \(r_i + k r_j\)

结合方程组就可以发现下面的定理:

定理:对系数矩阵作行变换不影响方程组的解。

因此,解方程组就可以借助矩阵的行变换,变为很简单的矩阵,就可以看出他的解。

行标准阶梯型矩阵

对系数矩阵进行行变换,变为行阶梯型,然后可以变为化简后的行阶梯型(又叫行标准阶梯型)。

行阶梯型的矩阵满足下面两个条件:

1.  全零行在矩阵的底部。

2. 非零行的第一个非零元素(称为主元、首项系数),严格地比上面的行的首项系数更靠右。

行标准阶梯型矩阵满足:每个首项系数是1,且是其所在列的唯一的非零元素。我们只要把行阶梯型每行的首项化为1,然后用该行把上面的元素化为0就得到了化简后的行阶梯型:

QQ截图20151028211959

如果把最终矩阵还原到方程组的形式,可以发现:

最下面的全零行对应的方程为 0x1 + 0x2 + … + 0x_n = 0 。显然这个方程组对方程的解没有任何帮助。方程组真正有用的方程是前面非零行对应的方程。

若A的秩为r ,则 有n-r个全零行,对应n-r个全0的方程。我们有n个未知数,只有r个实际的方程,显然我们只能解出r个变量,其余n-r个变量可以自由取值,称为自由变量。

那么,哪个变量是自由的,哪个变量是非自由的呢? 根据克莱姆法则,非自由变量对应的系数行列式不为0 。我们只要从每个非零行的首元到0之间,选一个非零元素就可以了。但是一般我们习惯于选择首元(也就是脚标小的)对应的未知数作为非自由变量。

把r个变量用其余n-r个变量表示出来,就得到了方程组的解。由于矩阵的行标准化,我们会发现这很容易,只要把首元对应的未知数留在左边,把其余未知数移到右边就可以了。

定理:齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为r ,若r < n ,则有基础解系,且基础解析所含向量个数为n – r 。

推论: 齐次线性方程组的系数矩阵A,若 r(A) = n ,则方程组有唯一零解。

若r(A) < n,则有无数解,通解为 \(k_1\xi_1 + k_2 \xi_2 + … + k_{n-r} \xi_{n-r}\) 。

例:求方程组的通解

$$\left\{
\begin{array}{c}
x_1 – x_2 – x_3 + x_4 = 0 \\
x_1 – x_2 + x_3 – 3x_4 = 0 \\
x_1 – x_2 – 2x_3 + 3x_4 = 0 \\
\end{array}
\right.$$

系数矩阵

$$A =\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & -3 \\
1 & -1 & -2 & 3 \\
\end{pmatrix}$$

化为行标准阶梯型

$$\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$$

真正有用的方程是前两个,共有4个未知数,因此有2个非自由变量,2个自由变量。

取首元对应的非自由变量 \(x_1, x_3\) ,通过前2个方程把非自由变量用自由变量表示

$$\left\{
\begin{array}{c}
x_1 = x_2 + x_4\\
x_3 = 2x_4\\
\end{array}
\right.$$

自由变量就用自己表示

$$\left\{
\begin{array}{c}
x_2 = x_2\\
x_4 = x_4\\
\end{array}
\right.$$

把上面两组整理一下,并写成统一的形式:

$$\left\{
\begin{array}{c}
x_1 = 1x_2 + 1x_4\\
x_2 = 1x_2 + 0x_4\\
x_3 = 0x_2 + 2x_4\\
x_4 = 0x_2 + 1x_4\\
\end{array}
\right.$$

写成向量的形式,就得到了通解:

$$X =   \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} x_2 + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \\ \end{pmatrix} x_4$$

一般通解中的系数我们用k来表示,只要把x2 x4换成k就可以啦

同时我们得到了基础解析:

$$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}  和 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \\ \end{pmatrix} $$

非齐次线性方程组

$$\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + … + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + … + a_{2n}x_n = b_2 \\
………………. \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + … + a_{mn}x_n = b_3 \\
\end{array}
\right.$$

它的系数矩阵为

$$A =  \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots& \vdots&\ddots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}$$

它的解 x1, x2, …, xn也可以写成矩阵

$$X =   \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{pmatrix}$$

右边的常数写成矩阵

$$B =   \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \\ \end{pmatrix}$$

则上面的齐次线性方程组可以写成矩阵形式

$$AX = B$$

如果用向量表示每一列,即

$$\beta =\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \\ \end{pmatrix} , \alpha_1 =  \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \\ \end{pmatrix} , \alpha_2 =  \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \\ \end{pmatrix} , …, \alpha_n =  \begin{pmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \\ \end{pmatrix}$$

则可以写成向量形式

$$x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + … + x_n\alpha_n = \beta$$

非齐次线性方程组对应的齐次方程组称为导出组,如下:

$$\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + … + a_{1n}x_n = 0 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + … + a_{2n}x_n = 0 \\
………………. \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + … + a_{mn}x_n = 0 \\
\end{array}
\right.$$

增广矩阵

把系数矩阵和常数矩阵放到一起形成的矩阵称为增广矩阵,记为\(\overline{A}\) 。

$$\overline{A} = \left[
\begin{array}{cccc|c}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\
\vdots& \vdots&\ddots &\vdots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m\\
\end{array}
\right]$$

有解判定

若方程组

$$x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + … + x_n\alpha_n = \beta$$

有解,则 \(\beta\)可由 \(\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n\)线性表示。也就是 r(A) = r(\(\overline{A}\))。

通解 + 特解

性质1:非齐次方程组的两个解的差 是它对应的齐次方程组的解。

性质2:非齐次方程组的某个解 与 它对应其次方程组的解 的和也是非齐次方程组的解。

定理:若 \(\eta\) 是非齐次方程组的一个特解, \(\xi_1, \xi_2, …, \xi_n-r\)是它对应齐次方程组的基础解系,则非齐次方程组的通解为

$$\eta + k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + … + k_{n-r}\xi_{n-r}$$

例题

求解方程组

$$\left\{
\begin{array}{c}
x_1 – x_2 – x_3 + x_4 = 0 \\
x_1 – x_2 + x_3 – 3x_4 = 1 \\
x_1 – x_2 – 2x_3 + 3x_4 = -\frac{1}{2} \\
\end{array}
\right.$$

$$\overline{A} =  \left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & -1 & -1 & 1 & 0\\
1 & -1& 1 &-3 & 1\\
1 &-1&-2 &3 & -\frac{1}{2}\\
\end{array}
\right]$$

经过行变换可以得到

$$ \left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & -1 & 0 & -1 & \frac{1}{2}\\
0 & 0& 1 &-2 & \frac{1}{2}\\
0 &0&0 &0 & 0\\
\end{array}
\right]$$

可以看出,r(A) = r(\(\overline{A}\)) ,所以方程组有解。如果秩不相等,则存在 0x1 + 0x2 + … + 0xn = b 这种无解方程。

同解方程组为

$$\left\{
\begin{array}{c}
x_1 = x_2 + x_4 + \frac{1}{2}\\
x_3 = 2x_4 + \frac{1}{2}\\
\end{array}
\right.$$

也就是

$$\left\{
\begin{array}{c}
x_1 = 1x_2 + 1x_4 + \frac{1}{2}\\
x_2 = 1x_2 + 0x_4 + 0\\
x_3 = 0x_2 + 2x_4 + \frac{1}{2}\\
x_4 = 0x_2 + 1x_4 + 0\\
\end{array}
\right.$$

通解

$$X =   \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} x_2 + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \\ \end{pmatrix} x_4 + \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \\ \end{pmatrix}$$

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